라그랑주 역학과 해밀턴 역학

라그랑주

라그랑주 역학

라그랑주 역학은 조제프 루이 라그랑주가 변분 원리를 연구하며 발견한 역학으로서 뉴턴 역학과는 다른 차이점인 일반화 좌표 즉, 일반화 좌표계 상에서 정의되는 범함수인 라그랑지언 좌표를 사용하여 표현하고 이용해 해석한 역학입니다. 운동계 전체의 작용이라는 물리적 지수를 도입하여 기존 물체 간의 상호작용과 비교되는 차이를 보이며 이 작용을 통해 최소가 되는 경로를 통해 계가 움직인다는 최소 작용의 원리로 적용되는 역학 기술 체계입니다. 그러나 조제프 루이 라그랑주는 앞의 방식과 조금 다른 가상의 원리 Virtual Work Principle을 통해 라그랑주 역학을 해석하였습니다. 일반적으로 에너지로부터 대상의 운동 방정식을 유도해낼 때 이 이론의 결과물인 라그랑주 방정식을 이용하여 유도해내고 있습니다.

 

라그랑주 역학의 경우 수학적인 함수를 함께 사용하다 보니 뉴턴 역학과 비교하여 좀 더 전문가적인 어려움이 있지만 계가 복잡해 짐에 따라 오히려 편리하게 해석할 수 있습니다. 주로 스칼라인 에너지만을 주로 다루는 라그랑주 역학의 경우 뉴턴 역학에 사용되는 벡터와 달리 방향을 고려할 필요가 없다는 장점이 있어, 문제를 계산할 때 어느 방향으로 힘이 작용하는지에 대한 의문은 가질 필요가 없으며, 아무리 복잡한 계라고 하더라도 모든 에너지의 세기만 계산한 후 공식화된 수치에 대입하면 정답을 쉽게 유도할 수 있습니다. 이렇듯 벡터와 달리 수치적인 부분만 다룬다는 장점을 가지고 주로 컴퓨터 시뮬레이션에서 주로 사용되는 FEM에서 라그랑주 역학이 많이 사용되고 있습니다.

 

해밀턴 역학

라그랑주 역학과 비슷한 점이 많은 윌리엄 로원 해밀턴에 의해 개발된 해밀 토니 안(Hamiltonian)은 물리량을 사용한 해밀턴 방정식을 기본으로 문제를 해석할 수 있습니다. 고전역학적 관점에서 바라볼 경우 해밀턴 역학은 라그랑지안 역학과 큰 차이가 없기 때문에 서로 공식적인 정의와 이해를 주고받을 수 있습니다. 그 이유는 두 역학 모두 뉴턴의 법칙처럼 벡터를 기반으로 하며 방향을 설정하지 안기 때문에 일반화된 좌표계와 각종 물리량의 개념만으로 최소 작용의 원리를 이해할 수 있는 것입니다. 해밀 토니 안과 라그랑지안은 서로 르장드르 변환으로 해석이 가능하기 때문에 최소 작용의 원리는 해밀턴의 원리로 불리기도 합니다.

 

수많은 물리학 과학자 들은 역학의 구조를 잘 설명하는 역학으로 특히 해밀턴 역학을 꼽을 수 있는데 이렇듯 해밀턴 역학은 고전역학의 영향을 벗어날 때 비로소 빛을 발휘하기도 합니다.  

그 첫 번째로서 고전역학적으로 위치 Q와 운동량 P의 관계식 설명의 경우 위치와 운동량의 관계를 가진 변수의 쌍을 넣어도 성립이 가능하다는 점입니다. 보통 물리학에서는 두 좌표를 변수로 하는 공간적 위상을 Phase Space 즉 위상 공간으로 부르며, 보통 물리학에서 위치와 운동량을 Conjugate variables라 부르고 있습니다.

 

해밀턴 역학에서 역학 문제를 Phase Space로 보낸 후, 이 공간에서의 좌표 변환을 통해 단순하게 문제를 해결할 수 있는데 이러한 개념이나 과정들이 양자역학에서는 매우 중요하게 여겨지는 이유입니다. 그리고 해밀 토니 안이 0인 좌표계로 변환이 가능한데 이 변환 방정식들 중 해밀턴-야코비 방정식을 이용하면 더욱 쉽게 해석이 가능한 이유입니다. 단적으로 슈뢰딩거의 양자역학에 대한 논문은 해밀턴-야코비 방정식으로 시작하는데 이는 슈뢰딩거 방정식의 증명에 엄청난 역할을 하게 된 것입니다.